根据函数连续性的定义。函数连续性的定义：对于域中的任意一个x0，在x0的域中存在limf（x）=f（x0）（x->x0），即当x0处函数的极限值等于该点的函数值时，该点的函数是连续的。如果函数在域中的每个点都是连续的，则函数在域中是连续的。从图像的角度看，如果函数是连续的，图像就是一条连续的曲线。如果从某个点中断，则函数在该点不是连续的。
首先，函数应该在这一点上定义；其次，函数应该在这一点上有一个极限（即左极限应该等于右极限）；最后，函数在这一点上的极限值必须等于函数在这一点上的极限值。如果这三点同时满足，我们可以说函数在这一点上是连续的。
如果左极限等于右极限，并且此时等于函数的函数值，则函数再次点连续。如果任何一点满足这个条件，那么函数是连续的。函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，因变量y的变化也很小。
让f（x）在点x0的邻域中定义。如果定义了，则称函数在点x0处是连续的，x0称为函数的连续点。如果函数在开区间（a，b）的每一点上都是连续的，则函数在（a，b）上是连续的。如果它在点a处右连续，在点b处左连续，则它在闭合间隔（a，b）处连续。如果它在整个域中是连续的，则称为函数连续。在数学中，连续性是函数的一个属性。直观地说，连续函数是当输入值的变化足够小时，输出值的变化就足够小的函数。如果输入值的微小变化会引起输出值的突然跳变，甚至无法定义，则此函数称为不连续函数（或不连续函数）。定理2连续单调增（减）函数的逆函数也是连续单调增（减）函数。定理3连续函数的复合函数是连续的。这些性质可以从连续性的定义和极限的有关性质得到。
让f（x）在点x0的邻域中定义。如果lim（x→x0）f（x）=f（x0），那么f（x）在x0点是连续的。
如果函数f（x）在区间i的每个点上都是连续的，则称f（x）在区间i上是连续的。
（1）函数在x0处定义；
（2）limf（x）在x->x0；
（3）limf（x）=f（x0）在x->x0时存在。
则初等函数在其域中是连续的。
