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环的零元是什么 1×0=0,是因为0乘以任何数字都等于0，还是因为1乘以任何数字都等于它的本身？

实习编辑 • 2023-11-28 03:47:56 • 用户投稿 • 阅读 3

1×0=0,是因为0乘以任何数字都等于0，还是因为1乘以任何数字都等于它的本身？

我记得这个问题在网上引起了热烈的讨论，但没有最终的权威标准答案。

在我看来，这两个答案都是正确的。但是，我们必须把它们全部列出，以免一边倒。原因如下：

在这个问题中，被乘数“1”和乘数“0”都是自然数。而且因为没有其他的话题限制，二者的逻辑地位应该是平等的。因此，应该分别从被乘数1和乘数0的角度来研究。

1.从被乘数1的角度看：在自然数中，1乘以任意数，数不变。因此，可以认为1x0=0是由于被乘数1的性质，它保持乘数0不变；

环的零元是什么 1×0=0,是因为0乘以任何数字都等于0，还是因为1乘以任何数字都等于它的本身？

2。从乘数0的角度来看：在自然数中，0乘以任何数，结果就是0。因此，可以说1x0=0是由于乘数0的性质，它保持自然数0不变。

你能证明：0^0=1吗？

在整数环中，0⁰不存在（无意义），因为：

0⁰=0⁻ν=0ü·0⁻ü，00⁻ü的逆不存在。

有理数域、实数域和复数域都是整数环的扩展，所以0⁰仍然没有意义。

假设存在一个⁻kul，则存在一个·a⁻kul=1（1）。然而，由于a是零因子，存在b≠0（2），使得b·a=0。则式（1）两边b的左乘有，b·a·a⁻kul=b·1，0=b，通过简化得到，这与式（2）是矛盾的。

对于环中的任何可逆元素a，都有a⁰=aü⁻к=aü·aüк=1。

当然，在零环（只有一个元素的环）中，因为1=0，0⁻ull=1⁻ull=1=0，那么0⁰ull=1=0。（这可能是问题所有者想要的答案）

补充（2019年10月3日）：

上面给出的解释是有缺陷的，因为按照这种思维方式，它如下：

0ν=0？⁻а=0?·0?⁻а

这导致了0а的无意义，但显然0а=0是有意义的。

更好的解释如下：

考虑a⁰=1的求导过程，

有，a=aü=aü+aü=aü·a⁰，即aü·a⁰=a，当a≠0时，aü的逆存在，则aü在方程两边左乘a，aü·aü·a⁰=aü·a，然后1·a⁰=1，即a⁰=1。

在这里，我们只能证明a⁰=1的a≠0的情况，而不能证明a=0的情况。因此，为了严格起见，我们一般认为0⁰是没有意义的。

如果我们不得不认为0⁰=1，它只能是强制的，不能从非零幺正环的定义中导出。

证明一个至少有两个元素的且没有零因子的有限环，r是一个除环？

证明：设v是r中的非零元素集。我们知道v中至少有一个元素。对于任何a，b属于v。因为r中的乘法形成半群，所以a*b属于r。因为r是一个没有零因子的环，并且a和b不等于0，所以a*b属于v，也就是说，v接近乘法。显然，v中的任何一对元素都满足结合律，因此v构成一个半群。因为r是一个没有零因子的环，乘法满足消去律，所以v中的乘法也满足消去律。因此，任何满足消去律的有限半群都构成一个群。那么r中的所有非零元素组成一个群，所以r是一个除环。

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