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欧拉公式是什么

实习编辑 • 2023-11-15 20:05:28 • 常见问答 • 阅读 3

事实上，欧拉公式有两个部分：平面和空间：
空间欧拉公式
vf-e=x(p)，v是多面体p的顶点数，f是多面体p的面数，e是多面体p的边数，x(p)是多面体p的欧拉特征。
x(p)=2如果p能同胚于一个球面(可以理解为在球面上膨胀拉伸)，x(p)=2-2h如果p同胚于一个有h个环柄的球面。
x(p)，称为p的欧拉特征，是一个拓扑不变量，即无论如何经历拓扑形变都不会改变的量，这是拓扑研究的范围。
在多面体：中的应用
简单多面体的顶点数v、面数f和边数e之间存在关系
vf-e=2
这个公式叫做欧拉公式。该公式描述了简单多面体的顶点数、面数和边数的唯一规律。
平面欧拉公式
vf-e=x(p)，其中v是图p的不动点个数，f是图p中的区域个数，e是图的边数。
在非简单多面体中，欧几里得公式的形式是：
v-ef-h=2(c-g)
其中h指平面上的不完全数，c指独立多面体数，g指穿透多面体数。
证明
(1)将多面体(图中的)视为具有薄橡胶表面的空心实体。
(2)通过去掉多面体的一个面，可以在平面上完全展开，在平面上得到一条直线，如图。假设f‘、e‘和v‘分别表示这个平面图的(简单)多边形、边和顶点的个数，我们只需要证明f’-e’v’=1。
(3)对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，将对角线依次引入到不是三角形的多边形中，直到变成一些三角形，如图中所示。每引入一条对角线，f‘和e‘增加1，v‘不变，所以f’-e’v‘不变。因此，当完全分成三角形时，f’-e’v‘的值保持不变。有些三角形在平面图形的边界上有一边或两边。
(4)如果一个三角形在边界上有一条边，如图4中的abc，则去掉这个三角形不属于其他三角形的边，即ac，从而去掉abc。这样，f‘和e‘各减1，v‘不变，所以f’-e’v‘也不变。
(5)如果一个三角形在边界上有两条边，如图5中的def，则去掉这个三角形不属于其他三角形的边，即df和ef，从而去掉def。这样，f‘减1，e‘减2，v‘减1，所以f’-e’v‘不变。
(6)继续这样，直到只剩下一个三角形，如图。此时f’=1，e’=3，v’=3，所以f’-e’v’=1-33=1。
(7)因为原来的图形是连在一起的，中间引入的变化并没有破坏这个事实，最后图形还是连在一起的，所以最后不会像图中那样向外分散成三角形。
(8)如果看起来像图中的8，我们可以去掉其中一个三角形，即一个三角形，三条边，两个顶点。所以f’-e’v‘保持不变。
即f’-e’v’=1
成立，所以欧拉公式：
f-ev=2
领证。
初等数论和欧拉公式
欧拉函数：(n)是所有小于n的正整数中与n互质的整数个数，n为正整数。欧拉公式欧拉证明了以下公式：
如果n的标准素分解公式是p1a1*p2a2*.*pmam，全pj(j=1，2，m)是质数，它们彼此不相等。有
(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
可以用包含排除原理来证明。
质量解决方案
欧拉公式
有四个欧拉公式
(1)分数：
a^r/(a-b)(a-c(b^r/(b-c)(b-a)c^r/(c-a)(c-b)
当r=0，1时，公式的值为0
当r=2时，该值为1
r=3时，值为abc。
(2)复数
当ei=cosisin时，我们得到：
sin=(e^i-e^-i)/2i
cos=(e^ie^-i)/2
这个函数连接了两个完全不同的函数——指数函数和三角函数，在数学上被称为“桥梁”。
当=时，变成ei1=0，连接了数学中最重要的e，i，，1，0。
(3)三角形
设r为三角形外接圆的半径，r为内切圆的半径，d为外中心到内中心的距离，则：
d^2=r^2-2rr
(4)多面体
设v为顶点数，e为边数，f为面数，那么
v-ef=2-2p
p是亏格，2-2p是欧拉特征，例如
p=0的多面体称为第零多面体
p=1的多面体称为第一类多面体
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