1.正交变换x=py：表示矩阵p是正交矩阵，即p的列（行）向量是正交的，长度为1。正交矩阵满足：p^tp=pp^t=e，即p^（-1）=p^t。在二次型中，我们希望找到一个可逆矩阵c，通过可逆变换x=cy，使二次型f=x^tax=（cy）^tacy=y^t（c^tac）y成为标准形式，即使c^tac成为对角矩阵。由实对称矩阵的对角化可知，对于任意对称矩阵a，总是存在一个正交矩阵p，使得p^（-1）ap是对角矩阵。因为正交矩阵p^（-1）=p^t，p^tap是对角矩阵。这样，如果我使用正交变换x=py，我可以将二次型f=x^tax改为f=y^t（p^tap）y=y^t（p^（-1）ap）y=y^t∧y（其中∧是对角矩阵）。通过正交变换实现了二次型的标准化。这是正交变换的第一个函数。②正交变换可以用来研究图形的几何性质。因为正交矩阵满足：p^tp=pp^t=e，对于正交变换x=py，有|x|=√（x^tx）=√（y^tp^tpy）=√（y^ty）=|y|。其中|x|表示向量x的长度。因此，经过正交变换后，|x|=|y|，即向量的长度保持不变。同样可以证明
（x1，x2，x3）=2x1x2x1x2x1x2x2x3对应的实对称矩阵是
a=[（0，1，1）t，（1，0，1）t，（1，1，0）t]对角化如下：
首先，求a的特征值，由|ke-a|=|（k，-1，-1）t，（-1，k，-1）t，（-1，-1，k）t|=（k-2）*（k-1）1）对于特征值k=2，（2e-a）z=0，特征向量z=（1，1，1）t，
单位α1=（1/√3，1/√3）t。
对于特征值k=-1，（-e-a）z=0，特征向量z=（1，-1，0）t或（1，0，-1）t，
施密特正交化给出
α2=（1/√2，0）t，α3=（1）/√6，1/√6，-2/√6）t.
实对称矩阵必须具有相似的变换矩阵，并且是正交矩阵，正交矩阵的逆等于正交矩阵的转置。根据矩阵相似性和矩阵同余的定义，如果矩阵a是实对称矩阵，那么它必须存在于正交矩阵p中，使得p*（-1）ap=b和p*（t）ap=b。但是如果矩阵a不是实对称矩阵，那么相似性与矩阵同余无关，因为矩阵a不一定有变换矩阵p，所以a和b是相似和全等的
